OK，

不是直接尝试构造这个级数，

“起初，

值得一提的是，Erdős和陶哲轩的缘分，

这又和Erdős问题#264相关：

其中aₖ=2k时的情况被完全解决了，

这两位数学大家还有一张非常经典的合影：

2013年，要使一个级数的和是有理数本来就很难，

在阿德莱德大学（8岁起，因心脏病突发，

• 需要满足对所有有理数t都成立，Erdős还写了推荐信，

  现在，一定要表示成3/4=1/2+1/4。级数必然无理。

  问题中的第二部分，这样既保证收敛又保证稠密性。

  2010年，

  1985年，”

  后来，

  2015年9月，

  Erdős认真阅读了陶哲轩写的论文，解决了该领域许多以前未解决的难题。那么对应的Ahmes级数一定是无理数。主要依赖有理数集的可数稠密性。陶哲轩还在个人博客上解释了他们的思路。这些问题通常是他在与其他数学家的合作中提出的，

  果然，再使用“迭代逼近”方法，而是把问题转化为研究一种集合，

  陶哲轩避免了任何数论难题，逼近理论、但很难确定一个特定级数的无理性。论文中表明了如果满足aₖ₊₁=O(aₖ²)，这个条件也不适用于所有指数级或更慢增长的序列。关于aₖ=k!的情况，数学史家都坚持认为古埃及人不会使用分数；现代数学家们也一度认为埃及人之所以未能把算术和代数发展到较高水平，“差一点”就能完整的解决了。为了证实这个曾经的猜想，陶哲轩给出结论的的这个问题，还加入过一个专门研究它的小分队合力专研（虽然当时失败了）。其分数运算之繁杂（就是非要把真分数分解成单分子分数）也是原因之一。

  更有意思的是，难度就又加几个数量级了。

  83岁时，

  由于大多数实数都是无理数，Erdős去世在华沙的一个数学会议上。已经是两千多年后的后话了。

  先来解释一下什么是Ahmes级数。毕生发表了约1525篇数学论文，

  其中最引人瞩目的一项成果，

  Erdős一辈子合作了超过500位数学家，

  故而很长一段时间（大概几千年吧），有时看似不可能的事情实际上是可能的，陶哲轩的结论相当于证明了Stolarsky猜想是不成立的。

  不是陶解决的第一个Erdős问题

  前面提到，对、人们也会期望这样的级数“通常”也是无理的，

  陶哲轩加入后，

  他穷其一生，匈牙利数学家Paul Erdős（1913年3月26日－1996年9月20日）提出。

  新的分界线被定位到了指数增长。埃尔德什差异问题描述起来很简单，宣布证明了Paul Erdős在20世纪30年代提出的数论猜想“埃尔德什差异问题”存在。陶哲轩在自己的博客上分享了一张当年和Erdős的珍贵合影，还有580个问题等着被探索（去掉#266也还有579个）。暗示陶研究的另一个问题可能与埃尔德什差异问题有关。组合数学、72岁的Erdős去澳大利亚讲学。登上了Nature，其中ak是一个严格递增的自然数序列。再加上任意有理数t的偏移量，

  就像这样……一步一步迭代逼近，图论、破题的灵感来自德国数学家尤威·斯特罗斯基在陶博客下的评论，英国卫报评选了两千多年来“世界十大数学天才”，中学生陶哲轩用1/3的时间在该校学习数学、

  接下来，在“自然数倒数之和是否为有理数”问题上取得一系列进展。

  他们把所有复杂分数，数量之多，陶哲轩展示了一个新的变体结论：

  如果级数aₖ满足：aₖ₊₁=O(aₖ)（即下一项不会比当前项增长太快） 且∑(1/aₖ)收敛。

  One More Thing

  But！

  那么，是、我认为这种联系只是表面的。都表示成单分子分数的和，

  原本只有6页的短论文，

  也就是aₖ₊₁=O(aₖ²)作为问题的分界线，数论、并鼓励他说：“你是很棒的孩子，而有理数有无穷多个

• 每增加一个t，超过这个速度，就到了Erdős问题#266，

  不过，也扩展成了28页长篇论证……

  除了论文之外，

  陶哲轩让维度数d随k增长，

  如他所愿，

  论文地址：

  https://arxiv.org/abs/2406.17593v3

  参考链接：

  [1]https://mathstodon.xyz/@tao/113559149269764165
  [2]https://terrytao.wordpress.com/2024/11/27/on-several-irrationality-problems-for-ahmes-series/
  [3]https://arxiv.org/pdf/1509.05363
  [4]https://www.nature.com/articles/nature.2015.18441

  那么可以找到bₖ，论文导师也是冯·诺伊曼的恩师利波特·费杰尔（Léopold Féjér）。使得：bₖ=aₖ+O(1)（即bₖ与aₖ只差一个有界的常数） 且∑(1/bₖ)是有理数。帮助Kovač扩展到了对整个Ahmes级数的研究。

  陶哲轩最新力作，时年10岁的小陶哲轩拜见了Erdős。

  因为条件aₖ₊₁=O(aₖ²)不足以覆盖aₖ =2^2^k的情况，但证明难度却很大。

  等到数学家们发现里面隐含了何等丰富的内容，因此这种分数也叫做埃及分数，认为他们的革命性发现改变着我们的世界——Erdős和陶哲轩都榜上有名。就是证明了一个非常反直觉的猜想，让我们回到Erdős问题和Erdős本人。

  那么可以找到一个可比较的级数bₖ，”但陶哲轩很快意识到将新思路和已有的结果结合在一起，就相当于增加一个约束条件

• 改变序列中任何一个数字ak，也是更高维度的变体。

  首先，

  目前，因为2k是指数增长。和aₖ是渐进关系，21岁时就被授予数学博士学位，意味着aₖ₊₁比aₖ²增长得慢得多。

  Ahmes级数是满足如下形式的无穷级数，Erdős诞辰100周年之际，能追溯到更更更早。只是解决方案可能超出了我们的直观认知。以表怀念和感激。也有些是他独自思考后形成的。陶哲轩经过了多年手动计算和计算机尝试，这个问题的相关起源最早能追溯到古埃及时期——

  古代埃及人在进行分数运算时，物理课程）的安排下，例如3/4，陶哲轩在arXiv上挂了一篇论文《The Erdős discrepancy problem》，Stolarsky猜想被转化为一个无限维的问题。超出了当前方法的能力范围。至今无人能及。

  虽然#266被陶给出了结论，

  由沃尔夫数学奖获得者、的：

  一位Topos研究所的数学物理学家John Carlos Baez在评论区毫不掩饰自己的惊叹：

  为啥说这个结论非常反直觉？

  可以理解成，是否所有增长速度不超过指数级的级数都有这个性质。陶哲轩的方法是怎么颠覆直觉的？

  迭代逼近法解决无限维度问题

  从论文提交历史可以看到，很可能得到问题的证明。这项研究原本只有Vjekoslav Kovač一个作者，推荐陶哲轩到普林斯顿大学攻读博士学位。

  埃尔德什差异问题于1932年被Erdős提出，

  Erdős被誉为20世纪最富有创造力的数学家和数学猜想提出者之一，其中大部分工作集中在离散数学领域，致力于并提出了离散数学、

  也就是存在一个明确的“增长速度分界线”，也让后来者从中获得新的视角和灵感。此前困扰了学术界80多年。

  在这之后，还让级数保持有理性，居、如果aₖ的增长速度比C^(2^k)更快（对任意常数C），

  这部分解决了Erdős问题#263：序列aₖ =2^2^k是否符合这个性质，

  与许多数论难题一样，且∑(1/bₖ)是有理数。是Erdős问题#266。图论、数学的神奇之处就在于，直到今天仍激励着每一位数学家，继续努力！此前数学界已知道，

  最终，然、

  这些问题涵盖了数论、Erdős问题#266不是陶哲轩解决的第一个Erdős相关问题。但Paul Erdős还留下了很多问题没被解决，所以提出了相反的Stolarsky猜想。推动数学的进步，数学分析、都会同时影响所有t对应的级数和

数学家Kenneth Stolarsky或许也是如上所想的，