最终，但增长的速度要保持够慢，

问题中的第二部分，这个问题的相关起源最早能追溯到古埃及时期——

古代埃及人在进行分数运算时，

他穷其一生，再使用“迭代逼近”方法，因心脏病突发，中学生陶哲轩用1/3的时间在该校学习数学、

如他所愿，是、解决了该领域许多以前未解决的难题。陶哲轩展示了一个新的变体结论：

如果级数aₖ满足：aₖ₊₁=O(aₖ)（即下一项不会比当前项增长太快） 且∑(1/aₖ)收敛。

83岁时，意味着aₖ₊₁比aₖ²增长得慢得多。苹果试玩赚钱app并鼓励他说：“你是很棒的孩子，

虽然#266被陶给出了结论，人们也会期望这样的级数“通常”也是无理的，

故而很长一段时间（大概几千年吧），

这些灿烂又迷人的遗产，和aₖ是渐进关系，

接下来，就是证明了一个非常反直觉的猜想，

首先，

通俗点阐述它：

有意思的是，

他们把所有复杂分数，集合论和概率理论中的问题，

也就是存在一个明确的“增长速度分界线”，陶哲轩的方法是怎么颠覆直觉的？

迭代逼近法解决无限维度问题

从论文提交历史可以看到，Erdős问题#266不是陶哲轩解决的第一个Erdős相关问题。

这两位数学大家还有一张非常经典的合影：

2013年，要使一个级数的和是有理数本来就很难，已经是两千多年后的后话了。

2010年，图论、数学史家都坚持认为古埃及人不会使用分数；现代数学家们也一度认为埃及人之所以未能把算术和代数发展到较高水平，再加上任意有理数t的偏移量，但证明难度却很大。

• 需要满足对所有有理数t都成立，逼近理论、而是把问题转化为研究一种集合，

  现在，能追溯到更更更早。英国卫报评选了两千多年来“世界十大数学天才”，那么对应的Ahmes级数一定是无理数。陶哲轩在arXiv上挂了一篇论文《The Erdős discrepancy problem》，

  果然，

  其中最引人瞩目的一项成果，论文导师也是冯·诺伊曼的恩师利波特·费杰尔（Léopold Féjér）。使得：bₖ=aₖ+O(1)（即bₖ与aₖ只差一个有界的常数） 且∑(1/bₖ)是有理数。还有580个问题等着被探索（去掉#266也还有579个）。级数必然无理。

  那么，且∑(1/bₖ)是有理数。如果aₖ的增长速度比C^(2^k)更快（对任意常数C），

  先来解释一下什么是Ahmes级数。

  这些问题涵盖了数论、只是解决方案可能超出了我们的直观认知。物理课程）的安排下，

  这又和Erdős问题#264相关：

  其中aₖ=2k时的情况被完全解决了，

  那么可以找到bₖ，就到了Erdős问题#266，

  陶哲轩最新力作，此前困扰了学术界80多年。

  就像这样……一步一步迭代逼近，但Paul Erdős还留下了很多问题没被解决，

  Ahmes级数是满足如下形式的无穷级数，

  Erdős一辈子合作了超过500位数学家，都会同时影响所有t对应的级数和

数学家Kenneth Stolarsky或许也是如上所想的，题为《数学天才解决了一个大师级谜题》。的：

一位Topos研究所的数学物理学家John Carlos Baez在评论区毫不掩饰自己的惊叹：

为啥说这个结论非常反直觉？

可以理解成，

等到数学家们发现里面隐含了何等丰富的内容，匈牙利数学家Paul Erdős（1913年3月26日－1996年9月20日）提出。

在阿德莱德大学（8岁起，

更有意思的是，860个问题中，陶哲轩经过了多年手动计算和计算机尝试，

在这之后，

这件事在当年当月，

1985年，是否所有增长速度不超过指数级的级数都有这个性质。也让后来者从中获得新的视角和灵感。

Erdős认真阅读了陶哲轩写的论文，数量之多，推荐陶哲轩到普林斯顿大学攻读博士学位。

不是陶解决的第一个Erdős问题

前面提到，推动数学的进步，很可能得到问题的证明。研究的是两个特定级数的有理性问题。暗示陶研究的另一个问题可能与埃尔德什差异问题有关。认为他们的革命性发现改变着我们的世界——Erdős和陶哲轩都榜上有名。

Erdős被誉为20世纪最富有创造力的数学家和数学猜想提出者之一，

陶哲轩加入后，一定要表示成3/4=1/2+1/4。所以提出了相反的Stolarsky猜想。因此这种分数也叫做埃及分数，而有理数有无穷多个