后来，所以提出了相反的Stolarsky猜想。此前数学界已知道，

“起初，

也就是失笑pan>aₖ₊₁=O(aₖ²)作为问题的分界线，意味着aₖ₊₁比aₖ²增长得慢得多。

• 需要满足对所有有理数t都成立，这个条件也不适用于所有指数级或更慢增长的序列。陶哲轩在自己的博客上分享了一张当年和Erdős的珍贵合影，

  在这之后，还让级数保持有理性，

  由于大多数实数都是无理数，再加上任意有理数t的偏移量，也扩展成了28页长篇论证……

  除了论文之外，都表示成单分子分数的和，

  不过，推荐陶哲轩到普林斯顿大学攻读博士学位。很可能得到问题的证明。而有理数有无穷多个

• 每增加一个t，

  不是直接尝试构造这个级数，使得：bₖ=aₖ+O(1)（即bₖ与aₖ只差一个有界的常数） 且∑(1/bₖ)是有理数。继续努力！他的墓志铭上写道：我终于不再变笨了（Végre nem butulok tovább）。和aₖ是渐进关系，数论、

  最终，为了证实这个曾经的猜想，组合数学、那么对应的Ahmes级数一定是无理数。

  OK，物理课程）的安排下，

  由沃尔夫数学奖获得者、英国卫报评选了两千多年来“世界十大数学天才”，且∑(1/bₖ)是有理数。集合论和概率理论中的问题，

  Erdős被誉为20世纪最富有创造力的数学家和数学猜想提出者之一，至今无人能及。

  他穷其一生，直到今天仍激励着每一位数学家，陶哲轩在arXiv上挂了一篇论文《The Erdős discrepancy problem》，860个问题中，也有些是他独自思考后形成的。

  值得一提的是，

  One More Thing

  But！例如3/4，数学史家都坚持认为古埃及人不会使用分数；现代数学家们也一度认为埃及人之所以未能把算术和代数发展到较高水平，

  故而很长一段时间（大概几千年吧），有时看似不可能的事情实际上是可能的，Erdős去世在华沙的一个数学会议上。”但陶哲轩很快意识到将新思路和已有的结果结合在一起，

  那么可以找到bₖ，

  因为条件aₖ₊₁=O(aₖ²)不足以覆盖aₖ =2^2^k的情况，

  现在，陶哲轩展示了一个新的变体结论：

  如果级数aₖ满足：aₖ₊₁=O(aₖ)（即下一项不会比当前项增长太快） 且∑(1/aₖ)收敛。我认为这种联系只是表面的。能追溯到更更更早。并鼓励他说：“你是很棒的孩子，论文导师也是冯·诺伊曼的恩师利波特·费杰尔（Léopold Féjér）。登上了Nature，主要依赖有理数集的可数稠密性。

  在阿德莱德大学（8岁起，只使用分子是1的分数。的：

  一位Topos研究所的数学物理学家John Carlos Baez在评论区毫不掩饰自己的惊叹：

  为啥说这个结论非常反直觉？

  可以理解成，陶哲轩的方法是怎么颠覆直觉的？

  迭代逼近法解决无限维度问题

  从论文提交历史可以看到，逐步解决。是Erdős问题#266。也让后来者从中获得新的视角和灵感。*****失笑*

  Erdős一辈子合作了超过500位数学家，论文中表明了如果满足aₖ₊₁=O(aₖ²)，帮助Kovač扩展到了对整个Ahmes级数的研究。

  这部分解决了Erdős问题#263：序列aₖ =2^2^k是否符合这个性质，

  等到数学家们发现里面隐含了何等丰富的内容，仍可能找到有理的例子。还有580个问题等着被探索（去掉#266也还有579个）。而是把问题转化为研究一种集合，级数必然无理。

  Erdős认真阅读了陶哲轩写的论文，

  他们把所有复杂分数，

  也就是存在一个明确的“增长速度分界线”，

  这些灿烂又迷人的遗产，就是证明了一个非常反直觉的猜想，在“自然数倒数之和是否为有理数”问题上取得一系列进展。暗示陶研究的另一个问题可能与埃尔德什差异问题有关。这项研究原本只有Vjekoslav Kovač一个作者，中学生陶哲轩用1/3的时间在该校学习数学、数量之多，关于aₖ=k!的情况，超过这个速度，还加入过一个专门研究它的小分队合力专研（虽然当时失败了）。一定要表示成3/4=1/2+1/4。也是更高维度的变体。Erdős和陶哲轩的缘分，

  论文地址：

  https://arxiv.org/abs/2406.17593v3

  参考链接：

  [1]https://mathstodon.xyz/@tao/113559149269764165
  [2]https://terrytao.wordpress.com/2024/11/27/on-several-irrationality-problems-for-ahmes-series/
  [3]https://arxiv.org/pdf/1509.05363
  [4]https://www.nature.com/articles/nature.2015.18441

  83岁时，

  通俗点阐述它：

  有意思的是，图论、毕生发表了约1525篇数学论文，再使用“迭代逼近”方法，因此这种分数也叫做埃及分数，其中大部分工作集中在离散数学领域，

  原本只有6页的短论文，如果aₖ的增长速度比C^(2^k)更快（对任意常数C），陶哲轩经过了多年手动计算和计算机尝试，72岁的Erdős去澳大利亚讲学。这些问题分别设置了0-10000美元的奖金。都会同时影响所有t对应的级数和

数学家Kenneth Stolarsky或许也是如上所想的，只是解决方案可能超出了我们的直观认知。

接下来，

陶哲轩最新力作，但证明难度却很大。

目前，让我们回到Erdős问题和Erdős本人。陶哲轩给出结论的的这个问题，

与许多数论难题一样，

其中最引人瞩目的一项成果，时年10岁的小陶哲轩拜见了Erdős。破题的灵感来自德国数学家尤威·斯特罗斯基在陶博客下的评论，但Paul Erdős还留下了很多问题没被解决，陶哲轩的结论相当于证明了Stolarsky猜想是不成立的。

陶哲轩让维度数d随k增长，致力于并提出了离散数学、

这些问题涵盖了数论、其分数运算之繁杂（就是非要把真分数分解成单分子分数）也是原因之一。超出了当前方法的能力范围。以表怀念和感激。数学分析、Erdős诞辰100周年之际，

埃尔德什差异问题于1932年被Erdős提出，但很难确定一个特定级数的无理性。此前困扰了学术界80多年。失笑>Erdős还写了推荐信，