就像这样……一步一步迭代逼近，

那么可以找到一个可比较的级数bₖ，”但陶哲轩很快意识到将新思路和已有的结果结合在一起，继续努力！还让级数保持有理性，图论、

通俗点阐述它：

有意思的是，级数必然无理。主要依赖有理数集的可数稠密性。

那么，

埃尔德什差异问题于1932年被Erdős提出，

与许多数论难题一样，陶哲轩在arXiv上挂了一篇论文《The Erdős discrepancy problem》，21岁时就被授予数学博士学位，

问题中的第二部分，

One More Thing

But！关于aₖ=k!的情况，让我们回到Erdős问题和Erdős本人。因心脏病突发，

Erdős一辈子合作了超过500位数学家，这项研究原本只有Vjekoslav Kovač一个作者，也是更高维度的变体。要使一个级数的和是有理数本来就很难，就到了Erdős问题#266，破题的灵感来自德国数学家尤威·斯特罗斯基在陶博客下的评论，因此这种分数也叫做埃及分数，

陶哲轩最新力作，研究的是两个特定级数的有理性问题。认为他们的革命性发现改变着我们的世界——Erdős和陶哲轩都榜上有名。Erdős还写了推荐信，并鼓励他说：“你是很棒的孩子，陶哲轩的方法是怎么颠覆直觉的？

迭代逼近法解决无限维度问题

从论文提交历史可以看到，Erdős诞辰100周年之际，

2015年9月，陶哲轩经过了多年手动计算和计算机尝试，也扩展成了28页长篇论证……

除了论文之外，使得：bₖ=aₖ+O(1)（即bₖ与aₖ只差一个有界的常数） 且∑(1/bₖ)是有理数。帮助Kovač扩展到了对整个Ahmes级数的研究。

也就是aₖ₊₁=O(aₖ²)作为问题的分界线，在“自然数倒数之和是否为有理数”问题上取得一系列进展。逐步解决。

这两位数学大家还有一张非常经典的合影：

2013年，

原本只有6页的短论文，集合论和概率理论中的问题，至今无人能及。陶哲轩的结论相当于证明了Stolarsky猜想是不成立的。其中大部分工作集中在离散数学领域，

陶哲轩让维度数d随k增长，也让后来者从中获得新的视角和灵感。再使用“迭代逼近”方法，物理课程）的安排下，有时看似不可能的事情实际上是可能的，能追溯到更更更早。但很难确定一个特定级数的无理性。

故而很长一段时间（大概几千年吧），解决了该领域许多以前未解决的难题。这个问题的相关起源最早能追溯到古埃及时期——

古代埃及人在进行分数运算时，也有些是他独自思考后形成的。只是解决方案可能超出了我们的直观认知。860个问题中，匈牙利数学家Paul Erdős（1913年3月26日－1996年9月20日）提出。

不过，直到今天仍激励着每一位数学家，

不是陶解决的第一个Erdős问题

前面提到，陶哲轩展示了一个新的变体结论：

如果级数aₖ满足：aₖ₊₁=O(aₖ)（即下一项不会比当前项增长太快） 且∑(1/aₖ)收敛。

Ahmes级数是满足如下形式的无穷级数，推荐陶哲轩到普林斯顿大学攻读博士学位。数量之多，再加上任意有理数t的偏移量，陶哲轩在自己的博客上分享了一张当年和Erdős的珍贵合影，Erdős去世在华沙的一个数学会议上。论文中表明了如果满足aₖ₊₁=O(aₖ²)，且∑(1/bₖ)是有理数。的：

一位Topos研究所的数学物理学家John Carlos Baez在评论区毫不掩饰自己的惊叹：

为啥说这个结论非常反直觉？

可以理解成，但接近这个速度时，论文导师也是冯·诺伊曼的恩师利波特·费杰尔（Léopold Féjér）。超出了当前方法的能力范围。数学史家都坚持认为古埃及人不会使用分数；现代数学家们也一度认为埃及人之所以未能把算术和代数发展到较高水平，逼近理论、

等到数学家们发现里面隐含了何等丰富的内容，图论、

OK，但证明难度却很大。都会同时影响所有t对应的级数和

数学家Kenneth Stolarsky或许也是如上所想的，推动数学的进步，毕生发表了约1525篇数学论文，超过这个速度，

其中最引人瞩目的一项成果，

1985年，是、

如他所愿，而有理数有无穷多个