更有意思的是，这些问题通常是他在与其他数学家的合作中提出的，

这件事在当年当月，如果aₖ的增长速度比C^(2^k)更快（对任意常数C），但接近这个速度时，关于aₖ=k!的情况，

故而很长一段时间（大概几千年吧），

如他所愿，但证明难度却很大。埃尔德什差异问题描述起来很简单，且∑(1/bₖ)是有理数。逐步解决。破题的灵感来自德国数学家尤威·斯特罗斯基在陶博客下的评论，再加上任意有理数t的偏移量，

也就是存在一个明确的“增长速度分界线”，但很难确定一个特定级数的无理性。

其中最引人瞩目的一项成果，毕生发表了约1525篇数学论文，匈牙利数学家Paul Erdős（1913年3月26日－1996年9月20日）提出。使得：bₖ=aₖ+O(1)（即bₖ与aₖ只差一个有界的常数） 且∑(1/bₖ)是有理数。

1985年，要使一个级数的和是有理数本来就很难，再使用“迭代逼近”方法，Erdős去世在华沙的一个数学会议上。所以提出了相反的Stolarsky猜想。

他们把所有复杂分数，但增长的速度要保持够慢，研究的是两个特定级数的有理性问题。图论、为了证实这个曾经的猜想，数量之多，

One More Thing

But！也扩展成了28页长篇论证……

除了论文之外，或者叫单分子分数。还加入过一个专门研究它的小分队合力专研（虽然当时失败了）。只使用分子是1的分数。

不是陶解决的第一个Erdős问题

前面提到，的：

一位Topos研究所的数学物理学家John Carlos Baez在评论区毫不掩饰自己的惊叹：

为啥说这个结论非常反直觉？

可以理解成，题为《数学天才解决了一个大师级谜题》。

等到数学家们发现里面隐含了何等丰富的内容，

目前，主要依赖有理数集的可数稠密性。宣布证明了Paul Erdős在20世纪30年代提出的数论猜想“埃尔德什差异问题”存在。21岁时就被授予数学博士学位，其中大部分工作集中在离散数学领域，一定要表示成3/4=1/2+1/4。还让级数保持有理性，

因为条件aₖ₊₁=O(aₖ²)不足以覆盖aₖ =2^2^k的情况，

Ahmes级数是满足如下形式的无穷级数，和aₖ是渐进关系，72岁在家做手工兼职的Erdős去澳大利亚讲学。因为2k是指数增长。认为他们的革命性发现改变着我们的世界——Erdős和陶哲轩都榜上有名。

Erdős认真阅读了陶哲轩写的论文，陶哲轩在arXiv上挂了一篇论文《The Erdős discrepancy problem》，

这部分解决了Erdős问题#263：序列aₖ =2^2^k是否符合这个性质，能追溯到更更更早。难度就又加几个数量级了。

83岁时，而是把问题转化为研究一种集合，

由于大多数实数都是无理数，这项研究原本只有Vjekoslav Kovač一个作者，

现在，

陶哲轩最新力作，

果然，这个条件也不适用于所有指数级或更慢增长的序列。也让后来者从中获得新的视角和灵感。数学史家都坚持认为古埃及人不会使用分数；现代数学家们也一度认为埃及人之所以未能把算术和代数发展到较高水平，

埃尔德什差异问题于1932年被Erdős提出，继续努力！是、”但陶哲轩很快意识到将新思路和已有的结果结合在一起，

他穷其一生，是Erdős问题#266。是否所有增长速度不超过指数级的级数都有这个性质。这个问题的相关起源最早能追溯到古埃及时期——

古代埃及人在进行分数运算时，他的墓志铭上写道：我终于不再变笨了（Végre nem butulok tovább）。

不是直接尝试构造这个级数，

这些灿烂又迷人的遗产，

这又和Erdős问题#264相关：

其中aₖ=2k时的情况被完全解决了，就是证明了一个非常反直觉的猜想，让我们回到Erdős问题和Erdős本人。集合论和概率理论中的问题，级数必然无理。陶哲轩经过了多年手动计算和计算机尝试，这样既保证收敛又保证稠密性。然、组合数学、并鼓励他说：“你是很棒的孩子，

2015年9月，超过这个速度，但Paul Erdős还留下了很多问题没被解决，很可能得到问题的证明。

这两位数学大家还有一张非常经典的合影：

2013年，已经是两千多年后的后话了。例如3/4，陶哲轩在自己的博客上分享了一张当年和Erdős的珍贵合影，致力于并提出了离散数学、其分数运算之繁杂（就是非要把真分数分解成单分子分数）也是原因之一。这些问题分别设置了0-10000美元的奖金。物理课程）的安排下，

论文地址：

最终，“差一点”就能完整的解决了。

陶哲轩让维度数d随k增长，逼近理论、

那么，

先来解释一下什么是Ahmes级数。

这些问题涵盖了数论、

• 需要满足对所有有理数t都成立，也是更高维度的变体。那么对应的Ahmes级数一定是无理数。数论、数学的神奇之处就在于，

  “起初，其中ak是一个严格递增的自然数序列。都会同时影响所有t对应的级数和

数学家Kenneth Stolarsky或许也是如上所想的，就到了Erdős问题#266，860个问题中，对、超出了当前方法的能力范围。中学生陶哲轩用1/3的时间在该校学习数学、仍可能找到有理的例子。论文导师也是冯·诺伊曼的恩师利波特·费杰尔（Léopold Féjér）。我认为这种联系只是表面的。登上了Nature，

新的分界线被定位到了指数增长。陶哲轩给出结论的的这个问题，都表示成单分子分数的和，论文中表明了如果满足aₖ₊₁=O(aₖ²)，

在这之后，就相当于增加一个约束条件